Question

如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點P的坐標

 

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Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：分四種情況考慮：當M運動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，由MN⊥x軸，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合條件的兩個P點；又當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此時P的坐標；如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此時P坐標；又當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此時P坐標，綜上，得到所有滿足題意P的坐標．

解答：解：當M運動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合條件的兩個P點；
又∵當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，
設點M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），
解得x=-3，所以點P坐標為（0，-3）．
如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M（x，2x+3），
則有-x=-

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（2x+3），化簡得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；
又∵當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=

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M′N′，
∴有-x=

1

2

（2x+3），
解得x=-

3

4

，這時點P的坐標為（0，

3

4

）．
綜上，符合條件的點P坐標是（0，0），（0，

3

4

），（0，-3），（0，1）．
故答案為：（0，0），（0，1），（0，

3

4

），（0，-3）．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面，做到不重不漏．