Question

8．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B（2，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若將該拋物線向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，從而可求得b、c的值，然后可得到拋物線的解析式；
（2）平移后拋物線的解析式為y=-（x+1）²+9-m，然后求得直線AC的解析式y(tǒng)=2x+8，當(dāng)x=-1時(shí)，y=6，最后由拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部可得到0＜9-m＜6，從而可求得m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)P（x，y）．分為AC為對(duì)角線、CP為對(duì)角線、AQ為對(duì)角線三種情況，依據(jù)平行四邊形對(duì)角相互平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴y=-x²-2x+8．

（2）y=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x+1）²+9-m．
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，點(diǎn)B（2，0），
∴A（-4，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+8，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：-4k+8=0，解得k=2，
∴直線AC解析式為y=2x+8．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=6．
∵拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部，
∴0＜9-m＜6．
∴3＜m＜9．

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)P（x，y）．
①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)．
∵四邊形APCQ為平行四邊形，
∴AC與PQ互相平分．
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{-4+0}{2}$=$\frac{x+a}{2}$，$\frac{0+8}{2}$=$\frac{y+0}{2}$．
∴x=-4-a，y=8．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴-（a+4）²-2（-4-a）=0，解得：a=-2或a=-4（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）．
②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形APCQ為平行四邊形，
∴CP與AQ互相平分．
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{a+0}{2}$=$\frac{-4+x}{2}$，$\frac{y+0}{2}$=$\frac{0+8}{2}$，
∴x=a+4，y=8．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴-（a+4）²-2（a+4）=0，解得：a=-6或a=-4（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，0）．
③AQ為對(duì)角線時(shí)．
∵四邊形APCQ為平行四邊形，
∴AQ與CP互相平分．
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{-4+a}{2}$=$\frac{x+0}{2}$，$\frac{0+0}{2}$=$\frac{y+8}{2}$，
∴x=-4+a，y=-8．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴-（a-4）²-2（a-4）+16=0，整理得：a²-6a-8=0，解得：a=3+$\sqrt{17}$或a=3-$\sqrt{17}$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{17}$，0）或（3-$\sqrt{17}$，0）．
綜上所述滿足條件的點(diǎn)Q為（-2，0）或（-6，0）或（3+$\sqrt{17}$，0）或（3-$\sqrt{17}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移規(guī)律、平行四邊形的性質(zhì)、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．