Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱(chēng)P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，
①在點(diǎn)P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P₂，P₃．
②點(diǎn)P在直線y=-x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點(diǎn)P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0），求得OP₁=$\frac{1}{2}$，OP₂=1，OP₃=$\frac{5}{2}$，于是得到結(jié)論；②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)最小y=-x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，設(shè)P（x，-x），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；
（2根據(jù)已知條件得到A（1，0），B（0，1），如圖1，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，得到C（-2，0），如圖2，當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，得到C（1-$\sqrt{2}$，0），于是得到結(jié)論；如圖3，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A，則AC=1，得到C（2，0），如圖4，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)B，連接BC，根據(jù)勾股定理得到C（2$\sqrt{2}$，0），于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)P₁（$\frac{1}{2}$，0），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），P₃（$\frac{5}{2}$，0），
∴OP₁=$\frac{1}{2}$，OP₂=1，OP₃=$\frac{5}{2}$，
∴P₁與⊙O的最小距離為$\frac{3}{2}$，P₂與⊙O的最小距離為1，OP₃與⊙O的最小距離為$\frac{1}{2}$，
∴⊙O，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P₂，P₃；
故答案為：P₂，P₃；
②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)最小y=-x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，
∴設(shè)P（x，-x），當(dāng)OP=1時(shí)，
由距離公式得，OP=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-0）^{2}}$=1，
∴x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)OP=3時(shí)，OP=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-0）^{2}}$=3，
解得：x=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$≤x≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵直線y=-x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如圖1，

當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)，CA=3，
∴C（-2，0），
如圖2，

當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，
∴CD=1，
∵直線AB的解析式為y=-x+1，
∴直線AB與x軸的夾角=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴C（1-$\sqrt{2}$，0），
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-2≤x_C≤1-$\sqrt{2}$；
如圖3，

當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A，則AC=1，∴C（2，0），
如圖4，

當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)B，連接BC，此時(shí)，BC=3，
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
∴C（2$\sqrt{2}$，0）．
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：2≤x_C≤2$\sqrt{2}$；
綜上所述；圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-2≤x_C≤1-$\sqrt{2}$或2≤x_C≤2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．