Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，求證：∠FCN=45°；
（3）請問在AB邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；

（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF，
∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°；

（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，
∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，
∴四邊形DQEF是平行四邊形．
∴在AB邊上存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．