Question

如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)。
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個(gè)單位的速度沿AO，OC，CB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒。①當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，求t的值；②當(dāng)PQ∥AC時(shí)，對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)H，∠HOQ＞∠POQ，求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由拋物線知：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
由于四邊形OABC是矩形，所以AB∥x軸，
即A、B的縱坐標(biāo)相同；
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴B（4，﹣2），∴AB=4。
（2）①由題意知：A點(diǎn)移動(dòng)路程為AP=t，Q點(diǎn)移動(dòng)路程為。
當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí)，即，時(shí)，
如圖1，若PQ⊥AC，則有Rt△QAP∽R(shí)t△ABC。
∴，即，
∴。
∵，
∴此時(shí)t值不合題意。
當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，即，時(shí)，
如圖2，過Q點(diǎn)作QD⊥AB。
∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。
若PQ⊥AC，則有Rt△QDP∽R(shí)t△ABC，
∴，即，
∴。
∵，
∴符合題意。
當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，即，時(shí)，
如圖3，若PQ⊥AC，過Q點(diǎn)作QG∥AC，則QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∵∠QPB＞90°，
這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾，
此時(shí)PQ不與AC垂直。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有PQ⊥AC。
②當(dāng)PQ∥AC時(shí)，如圖4，△BPQ∽△BAC，∴，∴，
解得t=2，即當(dāng)t=2時(shí)，PQ∥AC。
此時(shí)AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。
拋物線對(duì)稱軸的解析式為x=2，
當(dāng)H₁為對(duì)稱軸與OP的交點(diǎn)時(shí)，
有∠H₁OQ=∠POQ，∵當(dāng)y_H＜﹣2時(shí)，∠HOQ＞∠POQ。
作P點(diǎn)關(guān)于OQ的對(duì)稱點(diǎn)P'，
連接PP'交OQ于點(diǎn)M，過P'作P'N垂直于對(duì)稱軸，垂足為N，連接OP'，
在Rt△OCQ中，
∵OC=4，CQ=1�！郞Q=，
∴S_△OPQ=S_{四邊形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，
∴PM=，
∴PP'=2PM=，∵NPP'=∠COQ。
∴Rt△COQ∽△Rt△NPP'
∴，
∴ ，，
∴P'（），
∴直線OP'的解析式為，
∴OP'與NP的交點(diǎn)H₂（2，）。
∴當(dāng)時(shí)，∠HOP＞∠POQ。
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，∠HOQ＞∠POQ。