Question

如圖，⊙O的半徑OA，OB，且OA⊥OB，連結(jié)AB．在⊙O上找一點C，使OA²+AB²=BC²，則∠OAC的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,解直角三角形

專題：分類討論

分析：設(shè)圓的半徑是r，作直徑BD，作BC關(guān)于直徑BD的對稱線段BE，連接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性質(zhì)即可解答．

解答：解：如圖，設(shè)圓的半徑是r，則AO=r，BO=r，作直徑BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC=30°，作BC關(guān)于直徑BD的對稱線段BE，
連接EC，BE，ED，AC，
直角△BED中，可以得∠EBD=30°，
∵線段BE與線段BC關(guān)于直線BD對稱，
∴BC=BE，
∴BD垂直平分線段CE，
∴

DE

=

CD

，
∴∠CBD=30°而∠BCA=

1

2

∠AOB=45°．
在△ABC中，∠OAC=180°-∠ABO-∠CBD-∠ACB-∠BAO=15°．
同理，當E為C時，∠OAC=75°．
可得，∠OAC的度數(shù)為15°或75°．
故答案為：15°或75°．

點評：本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．