Question

（2012•昌平區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．
（1）若∠BAC=45°，求證：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．
（2）若∠BAC=30°，請直接寫出FC與HD的等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）①首先證明∠HBG=∠HAD，再證明∠GBF=∠BAF，再根據(jù)∠GBF=∠HBG可得∠HAD=∠BAF，進(jìn)而得到結(jié)論；
②過點(diǎn)D作KD∥FC交AF于K，然后可以證出

KD

FC

=

AD

AC

=

1

2

進(jìn)而得到FC=2KD，再證明∠DKH=∠DHK得到KD=HD，進(jìn)而得到FC=2HD；
（2）與（1）中的②證明方法類似，首先證明

AD

AC

=

3

4

，再根據(jù)MD∥FC可得

MD

FC

=

AD

AC

=

3

4

，然后再證明MD=HD，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（1）①∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90°．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∠GBF+∠AFB=90°．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE平分∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．
即 AF平分∠BAC．

②∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=

1

2

AC．
過點(diǎn)D作KD∥FC交AF于K，
∴

KD

FC

=

AD

AC

=

1

2

．
∴FC=2KD，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD．

（2）過點(diǎn)D作MD∥FC交AF于M，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴

AD

AB

=

3

2

，

AB

AC

=

3

2

，
∴

AD

AC

=

3

4

，
∵M(jìn)D∥FC，
∴

MD

FC

=

AD

AC

=

3

4

，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∵∠BHF=∠DHM．
∴∠BFH=∠DHM．
∵M(jìn)D∥BC，
∴∠DMH=∠BFH．
∴∠DMH=∠DHM．
∴MD=HD．
∴

HD

FC

=

3

4

．
∴FC=

4

3

HD．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是證明KD=HD和MD=HD．此題綜合性較強(qiáng)，找準(zhǔn)角之間的相等關(guān)系是解決此題的難點(diǎn)．