Question

如圖等邊三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的兩點，AD、AE把△ABC分割成周長相等的三個三角形，則CD=

-3+3 33

16

．

Answer 1

分析：過點A作AF⊥BC于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AF、CF，設CD=x，表示出DF，然后利用勾股定理列式求出AD，再判斷出EF=DF，AE=AD，然后根據(jù)△ACD和△ADE的周長相等列出方程，整理后解關于x的一元二次方程即可得解．

解答：解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，
∵AB=3，
∴AF=3×

3

2

=

3 3

2

，CF=

1

2

×3=

3

2

，
設CD=x，則DF=

3

2

-x，
在Rt△ADF中，AD=

DF2+AF2

=

( 3 2 -x)2+( 3 3 2 )2

=

x2-3x+9

，
∵△ABC分割成的三個三角形周長相等，
∴EF=DF，AE=AD，
∴AC+AD+CD=AD+DE+AE，
即3+

x2-3x+9

+x=

x2-3x+9

+2（

3

2

-x）+

x2-3x+9

，
∴

x2-3x+9

=3x，
整理得，8x²+3x-9=0，
解得x₁=

-3+3 33

16

，x₂=

-3-3 33

16

（舍去），
所以，CD的長是

-3+3 33

16

．
故答案為：

-3+3 33

16

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，作輔助線構造出直角三角形并根據(jù)等邊三角形的對稱性和三角形的周長相等列出方程是解題的關鍵．