Question

17．如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．
（1）求證：△BDF≌△CDE；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形BFCE是菱形？

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠DBF=∠DCE，由ASA即可證明△BDF≌△CDE；
（2）由△CDE≌△BDF，得出DE=DF，證出四邊形BFCE是平行四邊形，再由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出EF⊥BC，即可證出四邊形BFCE是菱形．

解答 （1）證明：∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
∵CE∥BF，
∴∠DBF=∠DCE，
在△BDF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DCE}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠BDF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）解：當(dāng)△ABC是等腰三角形，即AB=AC時，四邊形BFCE是菱形；理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
∵BD=CD，
∴四邊形BFCE是平行四邊形，
在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
即EF⊥BC
∴四邊形BFCE是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．