Question

如圖，等邊△ABC，G是△ABC的重心，直線AG把△ABC分成面積相等的兩部分，但是不是過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線都把△ABC分成面積相等的兩部分？用實(shí)驗(yàn)或說(shuō)理的方法，給予探索并得出結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

不是．（理由略）

【解析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)

顯然不是，可以過(guò)G作AB的平行線，分別交AC、BC于E、F，設(shè)直線AG與BC的交點(diǎn)為M，問(wèn)題就變成了三角形CEF和四邊形AEFB的面積關(guān)系；可過(guò)M作EF的平行線，交AC于N，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)得到AE、CE的比例關(guān)系，然后根據(jù)相似三角形△CEF和△CAB（因?yàn)镋F∥AB）的相似比求出它們的面積比，從而得到△CEF和四邊形AEFB的面積比是否為1：1．

不是．

理由：如圖，過(guò)G作直線EF∥AB，交AC于E、BC于F，

設(shè)直線AG與BC的交點(diǎn)為M，過(guò)M作MN∥EF，交AC于N，

∵G是△ABC的內(nèi)心，

∴BM=MC，AG=2GM，

∵GE∥MN，

，即，

∵BM=MC，即M是BC的中點(diǎn)，且MN∥EF∥AB，

∴MN是△ABC的中位線，即AN=NC，

，

設(shè)AE=2x，則AN=NC=3x，EN=x，

∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x．

∵EF∥AB，

∴△CMN∽△CBA，

，

故，

因此過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線不是都能把△ABC分成面積相等的兩部分．