Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x+1的頂點為P，A為拋物線與y軸的交點，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B，與拋物線對稱軸交于點O′，過點B和P的直線l交y軸于點C，連結(jié)O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點A落在點D的位置。

（1）求直線l的函數(shù)解析式；
（2）求點D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）配方，得y=（x-2）2-1， ∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點為P（2，-1）， 取x=0代入y=x2-2x+1，得y=1， ∴點A的坐標(biāo)是（0，1）， 由拋物線的對稱性知，點A（0，1）與點B關(guān)于直線x=2對稱， ∴點B的坐標(biāo)是（4，1）， 設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、P的坐標(biāo)代入， 有，解得， ∴直線l的解析式為y=x-3； （2）連結(jié)AD交O′C于點E， ∵點D由點A沿O′C翻折后得到， ∴O′C垂直平分AD， 由（1）知，點C的坐標(biāo)為（0，-3）， ∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2， 據(jù)面積關(guān)系，有×O′C×AE=×O′A×CA， ∴AE=，AD=2AE=， 作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽Rt△CO′A， ∴， ∴，DF=， 又∵OA=1， ∴點D的縱坐標(biāo)為1-， ∴點D的坐標(biāo)為（，-）； （3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點， ∴點P是線段BC的中點， ∴S△DPC=S△DPB，故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC， 過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S△DPC， 故m與拋物線的交點即符合條件的Q點， 容易求得過點C（0，-3）、D（）的直線的解析式為y=x-3， 據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為， 令x2-2x+1=， 解得x1=2，x2=，代入y=，得y1=-1，y2=， 因此，拋物線上存在兩點Q1（2，-1）（即點P）和Q2（）， 使得S△DQC=S△DPB。