Question

已知，如圖：O₁為x軸上一點(diǎn)，以O(shè)₁為圓心作⊙O₁交x軸于C、D兩點(diǎn)，交y軸于M、N兩點(diǎn)，∠CMD的外角平分線交⊙O₁于點(diǎn)E，AB是弦，且AB∥CD，直線DM的解析式為y=3x+3．
（1）如圖1，求⊙O₁半徑及點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）如圖2，過E作EF⊥BC于F，若A、B為弧CND上兩動(dòng)點(diǎn)且弦AB∥CD，試問：BF+CF與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并證明．
（3）在（2）的條件下，EF交⊙O₁于點(diǎn)G，問弦BG的長(zhǎng)度是否變化？若不變直接寫出BG的長(zhǎng)（不寫過程），若變化自畫圖說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,矩形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）連接ED、EC、EO₁、MO₁，如圖1，可以證到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，從而可以證到∠EO₁D=∠EO₁C=90°．由直線DM的解析式為y=3x+3可得OD=1，OM=3．設(shè)⊙O₁的半徑為r，在Rt△MOO₁中利用勾股定理就可解決問題．
（2）過點(diǎn)O₁作O₁P⊥EG于P，過點(diǎn)O₁作O₁Q⊥BC于Q，連接EO₁、DB，如圖2．由AB∥DC可證到BD=AC，易證四邊形O₁PFQ是矩形，從而有O₁P=FQ，∠PO₁Q=90°，進(jìn)而有∠EO₁P=∠CO₁Q，從而可以證到△EPO₁≌△CQO₁，則有PO₁=QO₁．根據(jù)三角形中位線定理可得FQ=

1

2

BD．從而可以得到BF+CF=2FQ=AC．
（3）連接EO₁，ED，EB，BG，如圖3．易證EF∥BD，則有∠GEB=∠EBD，從而有

BG

=

ED

，也就有BG=DE．在Rt△EO₁D中運(yùn)用勾股定理求出ED，就可解決問題．

解答：解：（1）連接ED、EC、EO₁、MO₁，如圖1，
∵M(jìn)E平分∠SMC，
∴∠SME=∠EMC．
∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，
∴∠ECD=∠EDC．
∴∠EO₁D=∠EO₁C．
∵∠EO₁D+∠EO₁C=180°，
∴∠EO₁D=∠EO₁C=90°．
∵直線DM的解析式為y=3x+3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴OD=1，OM=3．
設(shè)⊙O₁的半徑為r，則MO₁=DO₁=r．
在Rt△MOO₁中，
（r-1）²+3²=r²．
解得：r=5．
∴OO₁=4，EO₁=5．
∴⊙O₁半徑為5，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5）．

（2）BF+CF=AC．
證明：過點(diǎn)O₁作O₁P⊥EG于P，過點(diǎn)O₁作O₁Q⊥BC于Q，連接EO₁、DB，如圖2．
∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC．
∴

AD

=

BC

．
∴

BD

=

AC

．
∴BD=AC．
∵O₁P⊥EG，O₁Q⊥BC，EF⊥BF，
∴∠O₁PF=∠PFQ=∠O₁QF=90°．
∴四邊形O₁PFQ是矩形．
∴O₁P=FQ，∠PO₁Q=90°．
∴∠EO₁P=90°-∠PO₁C=∠CO₁Q．
在△EPO₁和△CQO₁中，

∠EO1P=∠CO1Q ∠EPO1=∠CQO1 O1E=O1C

．
∴△EPO₁≌△CQO₁．
∴PO₁=QO₁．
∴FQ=QO₁．
∵QO₁⊥BC，∴BQ=CQ．
∵CO₁=DO₁，∴O₁Q=

1

2

BD．
∴FQ=

1

2

BD．
∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，
∴BF+CF=BD=AC．

（3）連接EO₁，ED，EB，BG，如圖3．
∵DC是⊙O₁的直徑，∴∠DBC=90°．
∴∠DBC+∠EFB=180°．
∴EF∥BD．
∴∠GEB=∠EBD．
∴

BG

=

ED

．
∴BG=DE．
∵DO₁=EO₁=5，EO₁⊥DO₁，
∴DE=5

2

．
∴BG=5

2

．
∴弦BG的長(zhǎng)度不變，等于5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．而由AB∥DC證到AC=BD是解決第（2）小題的關(guān)鍵，由EG∥DB證到BG=DE是解決第（3）小題的關(guān)鍵．