Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O （0，0），A（0，），B（4，4），C（8，0），OH垂直BC于H，若OH=．
（1）求∠HOC的度數；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿線段OH向點H運動，動點Q從點A出發(fā)，沿線段AO向點O 運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，設點P的運動時間為t秒．
①若直線QP交x軸的正半軸于點N，當t為何值時，QP=2PN；
②在P，Q的運動過程中，是否存在t值，使得△OPQ與△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=4，AB=4，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°，
∵OA=OH，OB=OB，∠BAO=∠BHO=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△HOB（HL），
∴∠BOH=∠AOB=30°，
∴∠HOC=30°；

（2）①過點N與H作NK⊥x軸，
∴NK∥OA，
∴△POQ∽△PKN，
∴當=時，
∵OQ=4-t，OP=t，
∴PK=t，NK=（4-t），
∴OK=t，
∵∠HOC=30°，
∴，
∴t=，
∴當t為時，QP=2PN；
②當QP⊥OH時，△OPQ∽△HOB．
∵∠QPO=∠OHB=90°，∠QOP=∠OBH=60°，
∴△OPQ∽△HOB，
∴cos∠QOP=，
∴t=，
∴當t=時，△OPQ與△HOB相似．
③當PQ⊥OA時，△OPQ∽△BOH，
cos∠QOP==，
解得：t=．
分析：（1）首先由三角函數，求得∠AOB的度數，由HL，可證得Rt△AOB≌Rt△HOB，即可求得∠HOC的度數；
（2）首先作輔助線：過點N與H作NK⊥x軸，即可得到相似三角形：△POQ∽△PKN，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值；
（3）由相似三角形的判定，易得當QP⊥OH時，△OPQ∽△HOB，由三角函數的性質，即可求得當t=時，△OPQ與△HOB相似．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及三角函數的性質與全等三角形的判定與性質．題目綜合性很強，難度比較大，解題時要注意仔細分析求解．