Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1．
（1）求證：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的長(zhǎng)；
（3）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對(duì)邊平行，即可證得：△DMN∽△BCN；
（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)；
（2）由相似三角形相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND，最后由S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；

（2）∵△DMN∽△BCN，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
即$\frac{MD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，即BN=2DN，
設(shè)OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；

（3）∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=$\frac{1}{2}$S_△CND=1，S_△BNC=2S_△CND=4．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=4+2=6，
∴S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=6-1=5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意證得相似三角形的面積比等于相似比的平方，等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比．