Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合。
（1）求證：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG和△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG；
（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
設(shè)AG=x，則GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，即6²+x²=（8﹣x）²，
解得x=，
∴tan∠ABG===；
（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位線，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=。