Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2cm，∠B=60°．
（1）可得梯形ABCD的周長L=

10

cm，面積S=

3

3

cm²；
（2）如圖2，E、F分別為AD、BC邊上的動點，連接EF．設(shè)BF=xcm，△BEF的面積為ycm²，

L

BE+BF

=k（k是常數(shù)）．
①試用含x的代數(shù)式表示y；
②如果

L

BE+BF

=

S

y

，且k為整數(shù)，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）作DM∥AB交BC與點E．則四邊形ABCD是平行四邊形，△DMC是等邊三角形，即可求得CD，BE的長度，從而求得該梯形的周長；過點D作DN⊥MC，在等邊三角形DMC中利用特殊角的三角函數(shù)的定義求得DF的長度，根據(jù)梯形的面積公式解答即可；
（2）①根據(jù)三角形BEF的高與梯形ABCD的高相等，列出等式2y=

3

x，從而用含x的代數(shù)表示y；
②根據(jù)

L

BE+BF

=

S

y

，

L

BE+BF

=k（k為常數(shù)），將已知量代入，即得到x（BF）的值．

解答：解：（1）如圖1，作DM∥AB交BC與點M．則四邊形ABMD是平行四邊形，△DMC是等邊三角形．
則BM=AD=2cm，MC=DC=AB=2cm．
則梯形ABCD的周長=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BM+MC+CD=10cm．
過點D作DN⊥BC，則DN=sin∠C•CD=sin60°•CD=

3

2

×2=

3

；
故梯形ABCD的面積=（AD+BC）•DN÷2=3

3

；
故答案是：10；3

3

；

（2）如圖2．
①∵△BEF與梯形ABCD等高，梯形ABCD的高DN=

3

，
∴S_△BEF=

1

2

BF×

3

=

1

2

3

x，即y=

3

2

x；
②∵

L

BE+BF

=

S

y

，

L

BE+BF

=k（k為常數(shù)），
∴ky=S，
∴k×

3

2

x=3

3

，
∴x=

6

k

，
∵0＜x≤4，k為整數(shù)，
∴x=1，2，3，
即BF的長為：1cm、2cm、3cm．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，梯形周長，面積的計算，及函數(shù)思想．注意x的取值范圍應(yīng)該根據(jù)題中BC的長度來確定．