Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t．作PQ∥X軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊部分的面積為S，如圖1．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t 為何值時(shí)，正方形PQMN的邊MN恰好落在x軸上？如圖2．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
①求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的關(guān)系式．
②S是否有最大值？若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立，
解得，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）令y=0，則-x+6=0，
解得x=12，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0），
∴OB=12，
正方形PQMN的邊MN恰好落在x軸上時(shí)，設(shè)正方形的邊長為a，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△AOB，
∴==，
解得a=3，
∵點(diǎn)P在直線y=x上，
∴△OPN是等腰直角三角形，
∴OP=•PN=a=3，
∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，
∴t=3；

（3）①∵A（4，4），
∴OA==4，
∴AP=OA-OP=4-t，
∵PQ∥x軸，
∴△APQ∽△AOB，
∴=，
即=，
解得PQ=12-t，
當(dāng)0≤t＜3秒，MN在x軸的下方，重疊部分是矩形，
此時(shí)S=PQ•OP=（12-t）×t=-t²+6t，
當(dāng)3≤t≤4秒時(shí)，MN不在x軸下方，重疊部分的正方形，
此時(shí)S=PQ²=（12-t）²，
綜上所述，S與t的關(guān)系式為S=；

②t=2秒時(shí)，S有最大值為12．
理由如下：當(dāng)0≤t＜3秒時(shí)，S=-t²+6t=-（t-4t+8）+12=-（t-2）²+12，
所以，當(dāng)t=2秒時(shí)，S有最大值為12，
當(dāng)3≤t≤4秒時(shí)，S=（12-t）²，
拋物線的對稱軸為直線t=-4，
又∵t≤4時(shí)，S隨t的增大而減小，
∴t=3時(shí)，S有最大值為：（12-×3）²=9，
∵12＞9，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，S有最大值為12．
分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式，解方程組即可得到交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB的長，設(shè)正方形的邊長為a，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式求出正方形PQMN的邊長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OP，即可得解；
（3）①利用勾股定理求出OA，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出PQ，然后分MN在x軸下方與不在x軸下方兩種情況，根據(jù)矩形的面積公式與正方形的面積公式列式整理即可得解；
②根據(jù)二次函數(shù)的最值問題對①中兩個(gè)解析式分別求出最大值，比較即可得解．
點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)在于要分情況討論．