Question

如圖，拋物線(xiàn)y=a（x﹣h）²+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．

（2）在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上求點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）上述點(diǎn)是否是第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)求出第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=a（x﹣h）²+k頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），

∴y=a（x﹣1）²+2。

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），∴a（0﹣1）²+2=1，解得a=﹣1。

∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣（x﹣1）²+2，即y=﹣x²+2x+1。

 （2）∵A（0，1），C（1，0），∴OA=OC。

∴△OAC是等腰直角三角形。

過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線(xiàn)l，根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)知：l是AC的中垂線(xiàn)，

∴l(xiāng)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。

如圖，直線(xiàn)l的解析式為y=x，

解方程組，

得或（不合題意舍去）。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

   （3）點(diǎn)P不是第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)．

由（1）知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，

則，解得。

∴直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x+1．

設(shè)與AC平行的直線(xiàn)的解析式為y=﹣x+m．

解方程組，代入消元，得﹣x²+2x+1=﹣x+m，即x²﹣3x+m﹣1=0。

∵此點(diǎn)與AC距離最遠(yuǎn)，∴直線(xiàn)y=﹣x+m與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

∴方程x²﹣3x+m﹣1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=。

∴x²﹣3x+﹣1=0，解得x₁=x₂=，此時(shí)y=。

∴第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。

【解析】

試題分析：（1）由拋物線(xiàn)y=a（x﹣h）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x﹣1）²+2，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入此解析式即可。

（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線(xiàn)是直線(xiàn)y=x，根據(jù)“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”知直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，解方程組即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）先求出第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再與P點(diǎn)的坐標(biāo)比較進(jìn)行判斷．滿(mǎn)足條件的點(diǎn)一定是與直線(xiàn)AC平行且與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交產(chǎn)生的，易求出直線(xiàn)AC的解析式，設(shè)出與AC平行的直線(xiàn)的解析式，令它與拋物線(xiàn)的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)判斷它與點(diǎn)P是否重合來(lái)判斷點(diǎn)P是否是第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)。