Question

如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，且BC=nBE，連接AE，過B點(diǎn)作BM⊥AE，交于AE于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，過E點(diǎn)作EF⊥BC交F，交BN于G．
（1）如圖①，當(dāng)n=2時(shí)，求證：EG=FG；
（2）如圖②，當(dāng)n=3時(shí)，求證：AN=3CN；
（3）如圖③，當(dāng)n=

1+

2

時(shí)，N為FC的中點(diǎn)（直接寫出結(jié)果，不需要證明）

Answer 1

分析：（1）延長BN交DC于H，證△ABE≌△BCH，推出BE=CH，證△FEC∽△ABC，推出

EF

AB

=

CE

BC

=

1

2

，證△BEG∽△BCH，推出

EG

CH

=

BE

BC

=

1

2

，即可得出答案；
（2）延長BN交DC于H，證△ABE≌△BCH，推出BE=CH，證△CNH∽△ANB，得出比例式，即可得出答案；
（3）延長BN交DC于H，證△ABE≌△BCH，推出BE=CH，證△CNH∽△ANB，得出比例式，得出方程，求出方程的解即可．

解答：
（1）證明：延長BN交DC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中，

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=2BE，
∴AB=2CH，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=∠ABC=90°，
∴EF∥AB，
∴△FEC∽△ABC，
∴

EF

AB

=

CE

BC

=

1

2

，
同理△BEG∽△BCH，
∴

EG

CH

=

BE

BC

=

1

2

，
∵AB=BC=2BE=2CH，
∴EG=FG．

（2）證明：延長BN交DC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=3BE，
∴AB=3CH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△CNH∽△ANB，
∴

CN

AN

=

CH

AB

，
∵AB=3CH，
∴AN=3CN．

（3）解：當(dāng)n=1+

2

時(shí)，N為FC的中點(diǎn)，
理由是：延長BN交DC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=nBE，
∴AB=nCH，BE=CH=

1

n

AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△CNH∽△ANB，
∴

CN

AN

=

CH

AB

=

1

n

，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=∠ABC=90°，
∴EF∥AB，
∴△FEC∽△ABC，
∴

EF

AB

=

CE

BC

=

CF

AC

=

n-1

n

，
∴AF=

1

n

AC，CF=

n-1

n

AC，
∵N為CF中點(diǎn)，
∴CN=FN=

n-1

2n

AC，
∵

CH

AB

=

CN

AN

∴

1

n

=

n-1 2n

1 n + n-1 2n

，
N=1+

2

，N=1-

2

（是負(fù)數(shù)，舍去），
故答案為：1+

2

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，本題他們比較典型，證明過程類似．