Question

如圖，已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．

(1)求k的值；

(2)若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；

(3)過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，∴當(dāng)＝4時(shí)，＝2． 　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，2)． 　　∵點(diǎn)A是直線與雙曲線(k＞0)的交點(diǎn)， 　　∴k＝4×2＝8． 　　(2)解法一：如圖1， 　　∵點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)＝8時(shí)，＝1 　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8)． 　　過點(diǎn)A、C分別做軸、軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON． 　　S矩形ONDM＝32，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4． 　　S△AOC＝S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM＝32－4－9－4＝15． 　　解法二：如圖2， 　　過點(diǎn)C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F， 　　∵點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)＝8時(shí)，＝1． 　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8)． 　　∵點(diǎn)C、A都在雙曲線上， 　　∴S△COE＝S△AOF＝4． 　　∴S△COE＋S梯形CEFA＝S△COA＋S△AOF． 　　∴S△COA＝S梯形CEFA． 　　∵S梯形CEFA＝×(2＋8)×3＝15， 　　∴S△COA＝15． 　　(3)∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形， 　　∴OP＝OQ，OA＝OB． 　　∴四邊形APBQ是平行四邊形． 　　∴S△POA＝S平行四邊形APBQ＝×24＝6． 　　設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(＞0且)， 　　得P(，)． 　　過點(diǎn)P、A分別做軸的垂線，垂足為E、F， 　　∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，∴S△POE＝S△AOF＝4． 　　若0＜＜4，如圖3， 　　∵S△POE＋S梯形PEFA＝S△POA＋S△AOF， 　　∴S梯形PEFA＝S△POA＝6． 　　∴． 　　解得＝2，＝－8(舍去)． 　　∴P(2，4)． 　　若＞4，如圖4， 　　∵S△AOF＋S梯形AFEP＝S△AOP＋S△POE， 　　∴S梯形PEFA＝S△POA＝6． 　　∴， 　　解得＝8，＝－2(舍去)． 　　∴P(8，1)． 　　∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(2，4)或P(8，1)．