Question

17．如圖，BE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，點(diǎn)D為垂足，連AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度數(shù)；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，根據(jù)圓周角定理解答；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=30°，根據(jù)余弦的定義求出BE即可．

解答 解：（1）∵OA⊥BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圓周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE=$\frac{BC}{cos∠B}$=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理和圓周角定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．