Question

已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把△AOP沿OP對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在⊙O上．
（1）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；
（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖3），過(guò)C點(diǎn)作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

Answer 1

解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是PO∥BC。
（2）（1）中的結(jié)論P(yáng)O∥BC成立。理由為：
由折疊可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO�！唷螦=∠CPO。
又∵∠A與∠PCB都為所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。
∴PO∥BC。
（3）證明：∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD�！唷螦PO=∠COP。
由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO�！唷螦=∠APO=∠AOP�！唷鰽PO為等邊三角形。
∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB，∴△BC為等邊三角形�！唷螩OB=60°。
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。
又∵OP=OC，∴△POC也為等邊三角形�！唷螾CO=60°，PC=OP=OC。
又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。

解析