Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和拋物線交于點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)N在第四象限的拋物線上，且△NAB是以AB為底的等腰三角形，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離最大，并求出最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱性求出拋物線由x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C（2，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），把B（0，4）代入即可解決問題．
（2）求出線段AB的中垂線的解析式，利用方程組即可求出點(diǎn)N坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P到直線AB的距離最大，則△PAB面積最大，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，
∵對(duì)稱軸x=-1，A（-4，0），
∴C（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），把B（0，4）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2），即y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）如圖1中，

∵A（-4，0），B（0，4），
∴直線AB的解析式為y=x+4，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=-x，設(shè)直線y=-x交拋物線于N，則NA=BN．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍棄），
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）．

（3）如圖2中，設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），

∵S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO-S_△AOB
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∵-1＜0，
∴m=-2時(shí)，△PAB面積最大，最大值為4，設(shè)P到AB的距離為h，則此時(shí)h最大，
∴$\frac{1}{2}$$•\\;AB•h$AB•h=4，
∴h=$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)P（-2，4）設(shè)，點(diǎn)P到AB的距離最大，最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題．一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考常考題型．