Question

（2013•來(lái)賓）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，∠BAC=∠CAD，P是線(xiàn)段CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠PAD=∠ABD．
（1）請(qǐng)判斷△BCD的形狀（不要求證明）；
（2）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；
（3）求證：AP²-DP²=DP•BC．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判斷△BCD的形狀；
（2）連接OA、OD，則可得∠AOD=180°-2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°-∠OAD，從而可得OA⊥AP，判斷出結(jié)論．
（3）應(yīng)用切割線(xiàn)定理可得AP²=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．

解答：解：（1）∵∠BAC=∠CAD，
∴

BC

=

CD

，
∴∠BDC=∠CBD，
∴△BCD是等腰三角形．

（2）連接OA、OD，
則∠AOD=180°-2∠OAD，
∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，
∴∠PAD=90°-∠OAD，
∴∠PAD+∠OAD=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切線(xiàn)．

（3）∵PA是⊙O的切線(xiàn)，
∴AP²=PD×PC，
∴AP²-DP²=PD×PC-DP²=DP（PC-DP）=DP×CD，
又∵BC=CD，
∴AP²-DP²=DP•BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，涉及了切線(xiàn)的判定、圓周角定理及等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練有關(guān)圓的幾個(gè)性質(zhì)及斜線(xiàn)的判定定理，注意直接證明行不通的時(shí)候，要學(xué)會(huì)改變思路，將要證明的等式變形．