Question

如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC，AB=3，BC=4，點P為直線EC上的一點，且PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R．
（1）如圖1，當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=（不需證明）．
（2）如圖2，當點P為線段EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

解：（2）圖2中結(jié)論PR+PQ=仍成立．  證明：連接BP，過C點作CK?BD于點K．   ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠BCD=90°， 又∵CD=AB=3，BC=4， ∴BD===5． ∵S△BCD=BC×CD=BD×CK， ∴3×4=5CK， ∴CK=． ∵S△BCE=BE×CK，S△BEP=PR×BE， S△BCP=PQ×BC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP， ∴BE×CK=PR×BE+PQ×BC， 又∵BE=BC， ∴CK=PR+PQ， ∴CK=PR+PQ， 又∵CK=， ∴PR+PQ=；   （3）連接BP，S△BPE﹣S△BCP=S△BEC， S△BEC 是固定值， BE=BC 為兩個底， PR，PQ 分別為高， 圖3中的結(jié)論是PR﹣PQ=．