Question

∵

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），

1

5×7

=

1

2

（

1

5

-

1

7

）…
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）=…
（1）按此規(guī)律，在算式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第6項為

 

，前6項和為多少？請寫出計算前6項求和過程；
（2）按此規(guī)律，在算式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第n項為

 

，前n項和為多少？請寫出計算前n項求和過程；
（3）按此規(guī)律，前n項和可以是

100

201

嗎？若是，這是前多少項的和？請寫出計算過程．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：由題意可知：分母是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子是1的分?jǐn)?shù)可以拆成分子是1，分母是這兩個奇數(shù)的分?jǐn)?shù)的差，由此得出規(guī)律：

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

；
（1）（2）利用以上規(guī)律得出答案，進(jìn)一步拆項抵消計算即可；
（3）利用（2）的計算結(jié)果判定即可．

解答：解：（1）第6項為

1

11×13

，
前6項和為

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

11×13

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

11

-

1

13

）
=

1

2

×（1-

1

13

）
=

1

2

×

10

13

=

5

13

；
（2）第n項為

1

(2n-1)(2n+1)

，
前n項和為

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

═

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

1

2

×

2n

2n+1

=

n

2n+1

；
（3）∵

n

2n+1

=

100

201

，
∴n=100．
∴這是前100項的和．

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

199×201

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

199

-

1

201

）
=

1

2

×（1-

1

201

）
=

1

2

×

200

201

=

100

201

．

點(diǎn)評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．