Question

已知：如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G.

   (1)求證：BF=AC；

   (2)求證：CE=BF；

   (3)CE與BG的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論.

Answer 1

解:(1)證明:因?yàn)镃D⊥AB, ∠ABC=45°，

所以△BCD是等腰直角三角形.

所以BD=CD.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

因?yàn)椤螪BF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC,

又∠BFD=∠EFC,

所以∠DBF=∠DCA.

又因?yàn)椤螧DF=∠CDA=90°,BD=CD,.

所以Rt△DFB≌Rt△DAC.

所以BF=AC.

(2)證明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,

因?yàn)锽E平分∠ABC,

所以∠ABE=∠CBE.

又因?yàn)锽E=BE, ∠BEA=∠BEC=90°,

所以Rt△BEA≌Rt△BEC.

所以CE=AE=AC.

又由(1),知BF=AC,

所以CE=AC=BF.

(3)CE＜BG.證明:連接CG,

因?yàn)椤鰾CD是等腰直角三角形,

所以BD=CD,

又H是BC邊的中點(diǎn),

所以DH垂直平分BC.

所以BG=CG,

在Rt△CEG中,

因?yàn)镃G是斜邊,CE是直角邊,

所以CE＜CG,即CE＜BG.