Question

我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線。
如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓半徑為2。

（1）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；
（3）開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意可得：A(-1，0)，B(3，0)， 則設(shè)拋物線的解析式為(a≠0)， 又點(diǎn)D(0，-3)在拋物線上， ∴a(0+1)(0-3)=-3， 解之得：a=1 ∴y=x2-2x-3，自變量范圍：-1≤x≤3。
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E，連結(jié)CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2， ∴∠CMO=60°，OC=， 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°， ∴ME=4， ∴點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為(0，)，(-3，0)， ∴切線CE的解析式為。
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0，-3)，“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3(k≠0)， 由題意，知方程組只有一組解， 即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴k=-2， ∴過(guò)點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3。