Question

4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對的邊，且2b=a+c
（1）求∠A的正弦值；
（2）當(dāng)b=20時(shí)，求c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于a、c的方程，根據(jù)解方程，可得a、c的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案
（2）根據(jù)a=$\frac{3}{5}$c，可得關(guān)于c的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由題意，得
b=$\frac{1}{2}$（a+c）．
∵a²+b²=c²，
∴a²+$\frac{1}{4}$（a+c）²=c²，
（a+c）（a-c）+$\frac{1}{4}$（a+c）²=0，
（a+c）（$\frac{5}{4}$a-$\frac{3}{4}$c）=0，
∵a+c≠0，
∴a=$\frac{3}{5}$c，
sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$；
（2）當(dāng)b=20時(shí)，a+c=40，
∵a=$\frac{3}{5}$c，
∴$\frac{3}{5}$c+c=40，
解得c=25．

點(diǎn)評 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理得出a=$\frac{3}{5}$c是解題關(guān)鍵．