Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，點(diǎn)P是直線EF、GH之間任意一點(diǎn)，連接PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于

1. A.
   4
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：延長FE交CB的延長線于W，過E作EM⊥AD交DA延長線于M，過F作FN⊥CD于N，過A作AR⊥BC于R，連接FH、EG，求出平行四邊形EFHG，求出菱形面積、△AEF、△CGH、△FHD、△EGB的面積，即可求出答案．
解答：
解：延長FE交CB的延長線于W，過E作EM⊥AD交DA延長線于M，過F作FN⊥CD于N，過A作AR⊥BC于R，連接FH、EG，
則∠M=∠FND=∠ARB=90°，
∵AB=4，∠B=60°，
∴∠BAR=30°，
∴BR=2，AR=2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，AB=AD=CB=4，
∵BE=CH=4，
∴AE=DH=2，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF=GH，∠AFE=∠HGC，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠W，
∴∠W=∠HGC，
∴EF∥GH，
∵EF=GH，
∴四邊形EFHG是平行四邊形，
∴△PEF和△PGH的面積和S=EF×h_EF+GH×h_GH=S_{平行四邊形EFHG}；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠MAE=60°，
∵∠M=90°
∴∠MEA=30°，
∵AB=4，BE=2，
∴AE=2，
∴AM=AE=1，
由勾股定理得：ME=，
即△AEF的面積是S₁=×AF×ME=×1×=，
同理可得△CHG的面積S₂=，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∵∠FND=90°，
∴∠DFN=30°，
∴DN=DF=×（4-1）=，
由勾股定理得：FN=，
∴△FHD的面積S₃=DH×FN=×（4-2）×=，
同理可得△BEG的面積S₄=，
∴平行四邊形EFHG的面積是S_菱形ABCD-S₁-S₂-S₃-S₄=4×2----=4，
即△PEF和△PGH的面積和是S_{平行四邊形EFHG}=2，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的面積，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．