Question

20．如圖，點A、B、C在⊙O上，點B是$\widehat{AC}$的中點，∠ABC=∠AOC，將四邊形AOCB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，點C落在圓上的點D處，連結OD．
（1）求證：四邊形AOCB為菱形；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接半徑OB，證明△AOB≌△COB（SAS），得∠CBO=∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，證明△BCO是等腰三角形，得：AB=AO=OB=OC=BC，則四邊形AOCB為菱形；
（2）觀察圖形得：陰影部分面積=扇形CAD的面積-2個△CAO的面積，由菱形的對角線互相垂直得：AC⊥OB，與△ABO和△CBO是等邊三角形，則∠OCB=∠OAB=60°，有30°存在，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)可知：AC和扇形的圓心角∠CAD=60°，代入扇形的面積公式可得陰影圖形的面積．

解答 證明：（1）連接OB，
∵點B是$\widehat{AC}$的中點，
∴∠COB=∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OA=OB=OC，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴∠CBO=∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=∠AOC，
∴∠CBO=∠COB，
∴BC=OC，
∴AB=AO=OB=OC=BC，
∴四邊形AOCB為菱形；

（2）連接AC、AD，
∵AC=AD，AO=AO，OC=OD，
∴△AOC≌△AOD（SSS），
∴∠CAO=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAO，
∵AB=AO=OB=OC=BC，
∴△ABO和△CBO是等邊三角形，
∴∠OCB=∠OAB=60°，
∵四邊形AOCB是菱形，
∴AC⊥OB，∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠CAD=2∠OAC=60°，
∵OA=2，∠OAC=30°
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形CAD=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$1×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形CAD-2S_△AOC=2π-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式、等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定，應用的知識較多，但難度不大，注意：所求的陰影部分是以A為圓心，以AC為半徑的扇形CAD與兩三角形面積的差．