Question

11．已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=7$\sqrt{2}$，BC=17，以AC為斜邊在△ABC外作等腰Rt△ACD，連接BD，則BD的長為$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 顯然直接求BD不好入手，那么就將問題進行轉(zhuǎn)化．注意到△ACD為等腰Rt△，于是以AB為腰向左作等腰Rt△ABE，則易證△ABD與△AEC相似，相似比為$\frac{1}{\sqrt{2}}$，從而只需求出EC即可，此時∠EBC=135°，于是過E作EF⊥BC于F，則△EFB也為等腰Rt△，算出EF、BF，進而算出EC，問題迎刃而解．

解答 解：以AB為腰作等腰Rt△ABE，連接EC，

∵△ADC為等腰Rt△，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AB}{AE}$，∠EAB=∠DAC=45°，
∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△EAC∽△BAD，
∴$\frac{BD}{EC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
作EF⊥BC交BC延長線于F，
∵∠ABC=45°，∠EBA=90°，
∴∠EBF=45°，
∴△EFB為等腰Rt△，
∴EF=FB=$\frac{\sqrt{2}}{2}EB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$=7，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=25，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等重要知識點，有一定難度．正確作出輔助線是本題的難點．