Question

如圖，直線與x軸、y軸相交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-3）．點(diǎn)P是射線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速移動(dòng)，過點(diǎn)P作平行于BC的直線L與x軸、y軸相交于點(diǎn)M、N，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，MN=BC；
（2）設(shè)△AMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）如圖①，L₁、L₂位置時(shí)，MN=BC，此時(shí)t=6s或t=10s；

（2）當(dāng)0＜t＜4時(shí)，
如圖②：S_△MAP=•t•3=t；S_△NAP=•t•（4-t）=-t²+t；
∴S=S_△MAP+S_△NAP=；
當(dāng)4≤t＜8時(shí)，
如圖③：S=S_△MAP-S_△NAP=t-•t•（t-4）=-t²+3t；
當(dāng)t＞8時(shí)，
如圖④：S=S_△NAP-S_△MAP=•t•（t-4）=t²-3t．

分析：（1）根據(jù)BC所在直線的函數(shù)式我們不難得出，B的坐標(biāo)應(yīng)該是（-4，0），C的坐標(biāo)應(yīng)該是（0，-3）．要使MN是BC的一半，那么P所在的與BC平行的直線與x軸相交的點(diǎn)就應(yīng)該是（-2，0）和（2，0），我們不難求出當(dāng)P在點(diǎn)A時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（-8，0）那么點(diǎn)（-8，0）到點(diǎn)（-2，0）和（2，0）的距離分別是6和10，因此經(jīng)過6s或10s時(shí)，MN是BC的一半．
（2）可分三種情況進(jìn)行討論：1，當(dāng)P在第三象限時(shí)，也就是M在B點(diǎn)左邊時(shí)（圖2），0≤t≤4．
三角形MAP中，底邊AP可以根據(jù)路程=速度×?xí)r間用t表示出來，AP邊上的高就是OC的長，那么三角形MAP的面積就能求出來了．三角形NAP中關(guān)鍵是求AP邊上的高，∠CPN=∠OBC=∠BCA，因此tanCPN=tanOBC=，直角三角形CPN中，有AC=4，AP=t，那么可表示出CP，再根據(jù)∠CPN的正切值，那么CN的值就能表示出來了．這樣三角形APN的面積也就能表示出來了．那么他們的面積和即三角形AMN的面積就能求出來了．也就得出了S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)P在第四象限時(shí)，且M位于線段OB上時(shí)（圖3），即4≤t≤8時(shí)，三角形AMN的面積=三角形AMP的面積-三角形ANP的面積．
三角形AMP中，AP的長可以根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出來，高為OC的長，因此三角形AMP的面積就能求出來了．三角形ANP中，關(guān)鍵是求高NC的長，也就是求ON的長，M與P的速度是一樣的，因此OM的長可以用t表示出來（用M點(diǎn)沒運(yùn)動(dòng)時(shí)OM的長-運(yùn)動(dòng)的距離），那么三角形OMN中，就可以用正切函數(shù)求出ON的長，也就求出了CN的長，有了CN，AP的長三角形ANP的面積就可以表示出來了，然后三角形AMP的面積-三角形ANP的面積就是三角形AMN的面積S，也就得出了此時(shí)S與t的關(guān)系式．
（4）當(dāng)P在第四象限，且M在x正半軸上時(shí)（圖4），t＞8，三角形AMN的面積=三角形APN的面積-APM的面積，三角形APN中，關(guān)鍵是求CN的長，方法與第二種情況類似，先表示出OM的長，然后根據(jù)正切函數(shù)求出ON的長，進(jìn)而得出CN的長，其他步驟同第二種情況．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算方法，本題中通過兩條平行的直線函數(shù)來表示出線段的長是解題的關(guān)鍵．