Question

如圖，已知銳角三角形ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線相交于P，連接AP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度數(shù)？

Answer 1

解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
分析：根據外角與內角性質得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
點評：此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出PM=PN=PF是解決問題的關鍵．