Question

已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D。

（Ⅰ）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；
（Ⅱ）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，設OB′=x，OC=y，試寫出y關于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；
（Ⅲ）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，且使B′D∥OB，求此時點C的坐標。

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖（1），折疊后點B與點A重合，連接AC， 則△ACD≌△BCD， 設點C的坐標為（0，m）（m>0）， 則BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22，解得m=， ∴點C的坐標為；
（Ⅱ）如圖（2），折疊后點B落在OA邊上的點為B′連接B′C，B′D， 則△B′CD≌△BCD， 由題設OB′=x，OC=y， 則B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2， ∴（4-y）2=y2+x2， 即， 由點B′在邊OA上，有0≤x≤2， ∴解析式（0≤x≤2）為所求， ∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而減小， ∴y的取值范圍為；
（Ⅲ）如圖（3），折疊后點B落在OA邊上的點為B′，連接B′C，B′D，B′D∥OB， 則∠OCB′=∠CB′D， 又∵∠CBD=∠CB′D， ∴∠CB′=∠CBD， ∴CB′∥BA， ∴Rt△COB′∽Rt△BOA， 有， 得OC=20B′， 在Rt△B′OC中，設OB′=x0（x0>0），則OC=2x0， 由（Ⅱ）的結論，得2x0=， 解得x0=， ∵x0>0， ∴x0=， ∴點C的坐標為。