Question

18．已知函數(shù)y=$k（x-\frac{2}{k}）（x+2）（k≠0）$．
（1）|k|=2，請(qǐng)畫出符合條件的函數(shù)圖象；
（2）k的值分別取k₁，k₂時(shí)，得到兩個(gè)函數(shù)${y}_{1}{=}_{{k}_{1}}（x-\frac{2}{{k}_{1}}）（x+2）$，${y}_{2}{=}_{{k}_{2}}（x-\frac{2}{{k}_{2}}）（x+2）$，其中k₁＜k₂且k₁+k₂=0，y₂的圖象是由y₁的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)求出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值定義得：k=±2，代入拋物線解析式中畫圖即可；
（2）根據(jù)已知k₁＜k₂且k₁+k₂=0，得：k₂=-k₁，分別求出y₁和y₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|k₁|=|k₂|可知，y₁與y₂的開口大小相同，方向相反，可得結(jié)論；
（3）由兩函數(shù)與x軸的交點(diǎn)可知：都過（-2，0），將x=0代入，y=-4，所以過（0，-4），根據(jù)（1）問的圖象可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵|k|=2，
∴k=2或-2，
∴y=2（x-1）（x+2）=2x²+2x-4或y=-2（x+1）（x+2）=-2x²-6x-4，
圖象如右圖：
（2）∵k₁＜k₂且k₁+k₂=0，k₁≠0，k₂≠0，
∴k₂=-k₁，
∴k₂＞0，k₁＜0，
∴${y}_{2}{=}_{{k}_{2}}（x-\frac{2}{{k}_{2}}）（x+2）$=-k₁（x+$\frac{2}{{k}_{1}}$）（x+2），
頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{{k}_{1}}$-1，${k}_{1}-2+\frac{1}{{k}_{1}}$），
與x軸交點(diǎn)為：（-$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），（-2，0），
由${y}_{1}{=}_{{k}_{1}}（x-\frac{2}{{k}_{1}}）（x+2）$知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{1}{{k}_{1}}$-1，-$\frac{1}{{k}_{1}}-2-{k}_{1}$），與x軸交點(diǎn)為：（$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），（-2，0），
∵|k₁|=|k₂|，
∴y₂的圖象可由y₁的圖象變換得到，
即y₁向右平移-$\frac{2}{{k}_{1}}$（因?yàn)閗₁＜0，-$\frac{2}{{k}_{1}}$＞0）個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，再沿x軸翻折（關(guān)于x軸對(duì)稱）可得y₂圖象；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y₁=-4，y₂=-4，
∵y₁與y₂的交點(diǎn)分別為（-2，0）和（0，-4），
∴當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，x＜-2或x＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和平移變換，有難度，第二問分別求出兩函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵，第三問利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．