Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+c（m≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)△ODE是等腰三角形時(shí)，求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出c的值，然后根據(jù)點(diǎn)A（4，0）在拋物線y=mx²-2mx+c（m≠0）上，列出關(guān)于m的一元一次方程，求出m的值即可；
（2）分三種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)OD=OE時(shí)，OD=DE=AD=2，又由于∠OAE=45°，那么△OEA是個(gè)等腰直角三角形，于是可得出E的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，2），由于P，E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此可將E的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標(biāo)；②當(dāng)OE=DE時(shí)，如果過E作EM⊥OD于M，那么EM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形EMA中，由于∠OAE=45°，因此EM=AM=3，也就得出了E的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)①的方法求出P的坐標(biāo)；③當(dāng)OD=OE時(shí)，OE=2，由于O到AC的最短距離為2$\sqrt{2}$，因此此種情況是不成立的，綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=mx²-2mx+c（m≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），
∴c=4，
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴16m-8m+4=0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）存在這樣的直線，使得△ODE是等腰三角形，理由為：
在△ODE中，分三種情況考慮：
①若DO=DE，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DE=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DEA=∠OAC=45°，
∴∠ADE=90°，
此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）；
②若EO=ED，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，
由等腰三角形的性質(zhì)得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AME中，ME=AM=3，
∴E（1，3），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）；
③若OD=OE，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2$\sqrt{2}$，而OE=OD=2＜2$\sqrt{2}$，
所以AC上不存在點(diǎn)使得OE=OD=2，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODE是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）或P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到的知識(shí)較多，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形的判定，要注意的是（2）中不確定等腰三角形的腰是哪些線段時(shí)，要分類進(jìn)行討論，此題有一定的難度．