Question

2．如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=8，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處（如圖1）．
（1）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則θ=45°，a=8；
（2）若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用軸對稱的性質(zhì)即可解決問題；
（2）延長MD、OA，交于點(diǎn)N，如圖2．易證△BDM≌△ADN，則有DM=DN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得OM=ON，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠MOD=∠NOD，從而就可求出θ．

解答 解：（1）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
則θ=$\frac{1}{2}$∠COA=45°，OA=OC=8．
故答案為：45°，8．
（2）如圖：延長MD、OA，交于點(diǎn)N．

∵∠AOC=∠BCO=90°，
∴∠AOC+∠BCO=180°，
∴BC∥OA，
∴∠B=∠DAN．
在△BDM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAN}\\{BD=AD}\\{∠BDM=∠ADN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△ADN（ASA），
∴DM=DN．
∵∠ODM=∠OCM=90°，
∴根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OM=ON，
∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠MOD=∠NOD．
由折疊可得∠MOD=∠MOC=θ，
∴∠COA=3θ=90°，
∴θ=30°．

點(diǎn)評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．