Question

如圖所示，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：

①S₁+S₂=S₃+S₄；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂；④若S₁=S₂，則P點(diǎn)在矩形的對角線上。

其中正確的結(jié)論的序號是_________________（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）．

 

Answer 1

【答案】

②④

【解析】

試題分析：根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出S₁+S₃=矩形ABCD面積，以及，，即可得出P點(diǎn)一定在AC上．

過點(diǎn)P分別作PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E

∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，

∴此時兩三角形的高的和為AB，即可得出S₁+S₃=矩形ABCD面積；

同理可得出S₂+S₄=矩形ABCD面積；

∴②S₂+S₄=S₁+S₃正確，則①S₁+S₂=S₃+S₄錯誤，

③若S₃=2S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此選項錯誤；

④若S₁=S₂，×PF×AD=PE×AB，

∴△APD與△PBA高度之比為

∴四邊形AEPF是矩形，

∴此時矩形AEPF與矩形ABCD相似，

∴

∴P點(diǎn)在矩形的對角線上．

故④選項正確，

故答案為：②和④．

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)，三角形面積求法

點(diǎn)評：特殊四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)極為重要的知識，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，與各個知識點(diǎn)聯(lián)系極為容易，是中考的熱點(diǎn).