Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，CD為⊙O的切線，C為切點，且CD⊥PA，垂足為D．
（1）若∠PAC=60°，求∠CAE的度數(shù)；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由切線的性質(zhì)得OC⊥CD，因為CD⊥PA，所以PA∥OC，∠ACO=∠PAC=60°，由半徑相等得∠CAE=∠ACO=60°；
（2）過O作OM⊥AB于M，則AB=2AM．易得四邊形DMOC是矩形，OM=CD，DM=OC=5．設DC=x，則DA=6-x．在Rt△AMO中有勾股定理即可求得AM的值，進而得AB的值．

解答：解：（1）連接OC，

∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD．
又∵CD⊥PA，
∴PA∥OC，
∴∠ACO=∠PAC=60°．
又∵OA=OC，
∴∠CAE=∠ACO=60°；
（2）過O作OM⊥AB于M，
則AB=2AM．

∵∠CDM=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OM=CD，DM=OC=5．
設DC=x，則DA=6-x．
∴AM=5-（6-x）=x-1．
在Rt△AMO中，（x-1）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=-3（舍去）．
∴AM=4-1=3，
AB=2AM=6．

點評：本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．