Question

如圖，已知點(diǎn)A（-m，n），B（0，m），且m、n滿足

m+5

+（n-5）²=0，點(diǎn)C在y軸上，將△ABC沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處．

（1）寫出D點(diǎn)坐標(biāo)并求A、D兩點(diǎn)間的距離；
（2）若EF平分∠AED，若∠ACF-∠AEF=20°，求∠EFB的度數(shù)；
（3）過點(diǎn)C作QH平行于AB交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)Q在HC的延長線上，AB交x軸于點(diǎn)R，CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPR的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求其度數(shù)；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算點(diǎn)A與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)之差即可得到A、D兩點(diǎn)間的距離；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性質(zhì)得∠DCF=∠EFB+∠DEF，則∠EFB=∠ACF-∠DEF，又∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由QH∥AB得到∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，再根據(jù)角平分線的定義得∠QCP=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠ARX，則∠1=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠3，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BCQ=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根據(jù)∠1=∠CPR+∠2即可得到∠CPR=45°．

解答：解：（1）∵

m+5

+（n-5）²=0，
∴m+5=0，n-5=0，
∴m=-5，n=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），
∵△ABC沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，5）；
∴AD=5-（-5）=10；

（2）如圖2，∵△ABC沿x軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，
∴∠DCF=∠ACF，
∵∠DCF=∠EFB+∠DEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠DEF，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF=∠AEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；

（3）∠CPH=45°．理由如下：
如圖3，∵QH∥AB，
∴∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，
∵CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，
∴∠QCP=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠ARX，
∴∠1=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠3，
∵∠BCQ=90°+∠3，
∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，
∵∠1=∠CPR+∠2，
∴∠CPR=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算相應(yīng)的線段長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．