Question

如圖，若⊙O的半徑為R，弦AB⊥CD于點E，求證：AC²+BD²=4R²．

Answer 1

分析：作直徑AF，連接CF、BF．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ACF=∠B=90°，則BF∥CD，根據平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧BD，則CF=BD．根據勾股定理即可求解．

解答：證明：作直徑AF，連接CF、BF．
∵AF是直徑，
∴∠ACF=∠ABF=90°．
∴EB⊥AB，
又∵AB⊥CD，
∴BF∥CD，
∴弧CF=弧BD，
∴CF=BD．
根據勾股定理，得
AC²+BD²=AC²+CF²=AE²=（2R）²=4R²．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及勾股定理．