Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG=120°，∠FOG的兩邊OF，OG分別交AB，BC與點(diǎn)D，E，∠FOG繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)時，下列四個結(jié)論正確的是（ ）

①OD=OE；②；③；④△BDE的周長最小值為9，

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對①進(jìn)行判斷；利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=，則可對③進(jìn)行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計(jì)算出S△ODE=OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進(jìn)行判斷；由于△BDE的周長=BC+DE=6+DE=OE，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計(jì)算出此時OE的長則可對④進(jìn)行判斷．

解：連接OB、OC，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，
∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，，

∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD=CE，OD=OE，①正確；
∴S△BOD=S△COE，
∴四邊形ODBE的面積=S△OBC=S△ABC=××62=，③錯誤

作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=OEOE=OE2，
即S△ODE隨OE的變化而變化，
而四邊形ODBE的面積為定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②錯誤；
∵BD=CE，
∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=6+DE=6+OE，
當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE=，
∴△BDE周長的最小值=6+3=9，④正確．
故選：B．