Question

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于E、F，AE=．
（1）求弧EF的長．
（2）若AD=，直線MN分別交DA、DC于點(diǎn)M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，當(dāng)MN和⊙O第一次相切時(shí)，求點(diǎn)D到直線MN的距離．
（3）若點(diǎn)D到直線MN的距離為4時(shí)，請(qǐng)直接寫出⊙O和直線MN的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）連接OE、OF． ∵AD、AB與⊙O相切于E、F， ∴OE⊥AD，OF⊥AB， ∵矩形ABCD中，∠A=90°， ∴四邊形OEAF是矩形． ∵OE=OF， ∴四邊形OEAF是正方形， ∴OE=OF=AE=，∠O=90°， ∴弧EF的長為：=； （2）當(dāng)MN和⊙O第一次相切時(shí)， 設(shè)MN交AD于P，交BC于Q， 連接OP，OE，過D作DG⊥MN于G． ∵M(jìn)N∥PQ， ∴∠DMN=∠DPQ=60°， ∴∠APQ=120°． ∵PA和PQ與⊙O相切， ∴∠EPO=∠OPQ=60°． 在△OEP中， ∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=， ∴EP=1，OP=2， ∴DP=AD﹣AE﹣EP=+5﹣﹣1=4． 在△DPG中， ∵∠DGP=90°，∠PDG=30°， ∴DG=PDcos30°=2， ∴點(diǎn)D到直線MN的距離d為2； （3）設(shè)點(diǎn)D到直線MN的距離為d． 由（2）知，當(dāng)d=2時(shí)，直線MN與⊙O第一次相切， ∵⊙O的半徑為， ∴當(dāng)d=4時(shí)，直線MN與⊙O第二次相切， 又∵2<4<4， ∴當(dāng)d=4時(shí)，MN直線與⊙O相交．