Question

在△ABC中，∠A=45°，AB=7，AC=4

2

，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)．求△DEF的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：過B點(diǎn)作BM⊥AC于M，根據(jù)勾股定理求得AM=BM=

7 2

2

，進(jìn)而求得CM=AC-AM=

2

2

，然后根據(jù)勾股定理求得BC=5，因?yàn)镈、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn)時(shí)，E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E″和D、F在一條直線上，△DEF有最小周長(zhǎng)，根據(jù)三角形的中位線定理即可求得DE、EF、FD的值，進(jìn)而求得△DEF的最小周長(zhǎng)．

解答：解：過B點(diǎn)作BM⊥AC于M，
∵∠A=45°，
∴AM=BM=

7 2

2

，
∵AC=4

2

，
∴CM=AC-AM=

2

2

，
∴BC=

BM2+CM2

=5，
∵D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn)時(shí)，E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E″和D、F在一條直線上，△DEF有最小周長(zhǎng)，
∴△DEF的最小周長(zhǎng)=DE+EF+FD=

1

2

（AB+BC+CA）=

1

2

（7+5+4

2

）=6+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形的中位線定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)等，應(yīng)用勾股定理求得BC的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．