Question

已知：拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是y=

1

2

x-2，連接AC．則△ABC的形狀

直角三角形

．

Answer 1

分析：令x=0以及y=0代入y=

1

2

x-2得出B，C的坐標(biāo)．把相關(guān)坐標(biāo)代入拋物線得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出△ABC三邊的長(zhǎng)即可作出判斷．

解答：解：∵點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，
∴令x=0，則y=-2；令y=0，則x=4，
∴B（4，0），C（0，-2）；
把B（4，0），C（0，-2）代入拋物線y=

1

2

x²+bx+c得

1 2 ×42+4b+c=0 c=-2

，解得

b=- 3 2 c=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4．
∵B（4，0）
∴A（-1，0）．
∵AB=|-1-4|=5，AC=

(0+1)2+(-2-0)2

=

5

，BC=

(4-0)2+(0+2)2

=2

5

∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題及勾股定理的逆定理，先根據(jù)題意求出拋物線的解析式是解答此題的關(guān)鍵．