Question

如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，△ADE≌△CBF，過A點作AG∥BD交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）求證：DE∥BF；
（3）當四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，AE=CF，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
即AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，AE=CF，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴DF=CF，AE=BE，
∵AB=CD，
∴DF=BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE∥BF；

（3）四邊形AGBD是矩形．
證明：連接EF，
∵AD∥BC，AG∥BD，
∴四邊形AGBD是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AE=BE=CF=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∵四邊形BEDF是菱形，
∴BD⊥EF，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形AGBD是矩形．
分析：（1）由△ADE≌△CBF與E、F分別為邊AB、CD的中點，易證得AD=BC，AB=CD，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）易證得四邊形DEBF是平行四邊形，即可證得DE∥BF；
（3）首先連接EF，由四邊形BEDF是菱形，可得EF⊥BD，易證得AD⊥BD，又由AG∥BD，AD∥BC，即可得四邊形AGBD是平行四邊形，即可證得四邊形AGBD是矩形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、菱形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．