Question

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在BA邊上自由移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng)．

    (1)點(diǎn)E、F移動(dòng)的過(guò)程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形?若能，請(qǐng)指出△OEF為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、F的位置．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，設(shè)BE=，CF=，求與之間的函數(shù)解析式，寫出的取值范圍．

 (3)在滿足(2)中的條件時(shí)，若以O(shè)為圓心的圓與AB相切(如圖2)，試探究直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的的結(jié)論．

Answer 1

解：如圖，

(1)點(diǎn)E、F移動(dòng)的過(guò)程中，△0EF能成為∠EOF=45°的等腰三角形．此時(shí)點(diǎn)E、F的位置分別是：

  ①E是BA的中點(diǎn)，F(xiàn)與A重合．

  ②BE=CF=.③E與A重合，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．

(2)在△OEB和△FOC中，

  ∠EOB+∠FOC=135°．

  ∠EOB+∠OEB=135°．∴∠FOC=∠OEB． 

又∵∠B=∠C，

  ∴△OEB∽△FOC

  ∴

  ∴BE=,CF=,OB=OC=

  ∴ (1≤≤2)．

(3)EF與⊙O相切．

  ∵△OEB∽△FOC，

∴

∴

即

 又∵∠B=∠EOF=45°,

∴△BE0∽△0EF

∴∠BEO=∠OEF

∴點(diǎn)0到AB和EF的距離相等．

∴AB與⊙O相切，

點(diǎn)0到EF的距離等于⊙O的半徑．

∴EF與⊙O相切．