Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，均以2厘米/秒的速度分別沿AD向點D和沿CB向點B運動．設(shè)運動時間為t（其中t≤6.25）秒
（1）當EF與AC垂直時，求出t的值；
（2）在（1）的條件下，若P為線段AC上一點（點P不與點A、C重合），連結(jié)EP，當2AE²=AC•AP時，請判斷EP與AD的位置關(guān)系，并說明理由；求出此時AP的長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出AC的值，根據(jù)三角函數(shù)值就可以求出sin∠CAD和cos∠CAD的值，由條件可以得出△AOE≌△COF，就可以求出AO=CO，就可以求出AE的值而求出t的值；
（2）過E作EP⊥AD交AC于P，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以證明△AOE∽△AEP，列出關(guān)系式就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
在△AOE和△COF中

∠CAD=∠ACB ∠AOE=∠COF AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO=CO，EO=FO．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AC=20．
∴AO=

1

2

AC=10．
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴CD=12．
∴cos∠CAD=

4

5

，
∴

AO

AE

=

4

5

，
∴

10

AE

=

4

5

，
∴AE=

25

2

，
t=

25

2

÷2=

25

4

秒．
答：

25

4

時，EF與AC垂直；


（2）過E作EP⊥AD交AC于P．
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠AOE．
∵∠OAE=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，
∴AE²=A0•AP，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定就性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角函數(shù)值的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等和相似是關(guān)鍵．