Question

如圖，已知四邊形ABCD中，∠D=∠B=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
（1）求證：AE∥CF；（證明過程已給出，請在下面的括號內填上適當的理由）
證明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（ 四邊形內角和為360°）
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°

 

∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，（已知）
∴∠1=

1

2

∠DAB，∠2=

1

2

∠DCB

 

∴∠1+∠2=

1

2

（∠DAB+∠DCB）=90°（等式性質）
又∵∠3+∠2+∠B=180°

 

∴∠3+∠2=180°-∠B=90°
∴∠1=∠3

 

，
∴AE∥CF

 

（2）若∠DAB=50°，求∠AEC的度數．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質

專題：推理填空題

分析：（1）求出∠DAB+∠DCB=180°，求出∠2+∠1=90°，推出∠1=∠3，根據平行線的判定得出即可；
（2）求出∠DAE的度數，根據三角形外角性質求出即可．

解答：（1）證明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°，
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性質），
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠1=

1

2

∠DAB，∠2=

1

2

∠DCB（角平分線定義），
∴∠1+∠2=

1

2

（∠DAB+∠DCB）=90°，
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形內角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：（等式的性質），（角平分線定義），（三角形內角和定理），（同角的余角相等），（同位角相等，兩直線平行）；

（2）解：∵∠DAB=50°，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=

1

2

∠DAB=25°，
∵∠D=90°，
∴∠AEC=∠DAE+∠D=115°．

點評：本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質，角平分線定義的應用，主要考查學生的推理能力．